点差法说明

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豆瓜 图标 2021-02-23 09:59:15

引例说明#

【引例】如点P(4,2)P(4,2)是直线ll被椭圆:x236+y29=1x236+y29=1所截得的线段的中点,求直线ll的方程。

分析:设直线与椭圆相交于两点A(x1,y1)A(x1,y1)和B(x2,y2)B(x2,y2),

由于点P(4,2)P(4,2)是线段ABAB的中点,故有x1+x2=8x1+x2=8,y1+y2=4y1+y2=4;

又由于点A、BA、B都在椭圆上,

则有x21+4y21=36①x12+4y12=36①,x22+4y22=36②x22+4y22=36②,

两式作差得到,(x21−x22)+4(y21−y22)=0(x12−x22)+4(y12−y22)=0,

即(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0,

也就是y1−y2x1−x2=−(x1+x2)4(y1+y2)=−12y1−y2x1−x2=−(x1+x2)4(y1+y2)=−12,

即直线ll的斜率k=kAB=−12k=kAB=−12,

由点斜式可得直线ll的方程为y−2=−12(x−4)y−2=−12(x−4),整理得到x+2y−8=0x+2y−8=0。

此解法简捷漂亮,因其设点求差,故名点差法。

反思总结:在圆锥曲线中涉及中点弦问题时,往往发挥很大作用。自然,上例中的椭圆也可以替换为双曲线,抛物线,圆等曲线。

方法局限性#

1、但点差法只可用于解决中心在原点的圆锥曲线,再利用题中其他条件寻找x,y,k,mx,y,k,m(直线截距)间的关系,允许保留一个未知数,多用于解决过定点问题。

2、对于存在性问题(如问到"是否存在一定点过于直线AB?”)要慎用点差法,因为当题中未明说直线与圆锥曲线的相交情况时,若无交点,x1,x2,y1,y2x1,x2,y1,y2就没有了意义,变形式也就不成立了。故即使利用点差法解出定点(当题中相交情况不确定时),也要检验。

检验方法一:把已知直线与圆锥曲线联立,再算判别式是否≥0,若符合,则存在;

检验方法二:把所得弦的中点代入圆锥曲线本身的约束条件中去看是否满足,如在椭圆中弦的中点应满足x2a2+y2b2<1x2a2+y2b2<1;双曲线中满足x2a2+y2b2>1x2a2+y2b2>1;若符合,则存在。

典例剖析#

已知椭圆x22+y2=1x22+y2=1,求斜率为22的平行弦的中点的轨迹方程。

解:设弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQPQ的中点为M(x,y)M(x,y),

则有x212+y21=1x122+y12=1①,x222+y22=1x222+y22=1②,

①-②得到,x21−x222+y21−y22=0x12−x222+y12−y22=0

则有x1−x22+y1−y2x1−x2(y1+y2)=0x1−x22+y1−y2x1−x2(y1+y2)=0

又由于x1+x2=2xx1+x2=2x,y1+y2=2yy1+y2=2y,y1−y2x1−x2=k=2y1−y2x1−x2=k=2,

代入上式,得到x+4y=0x+4y=0,

又由于弦中点在椭圆内,故所求的弦中点的轨迹方程为x+4y=0x+4y=0(在已知椭圆内)。

已知点M(−1,1)M(−1,1)和抛物线C:y2=4xC:y2=4x,过CC的焦点且斜率为kk的直线与CC交于AA,BB两点,若∠AMB=90∘∠AMB=90∘,则kk=_________。

分析:做出如下示意图,连结MHMH,HH为焦点弦ABAB的中点,

由于△AMB△AMB为直角三角形,HH为ABAB的中点,则MH=12ABMH=12AB,

又由于AB=AF+BF=AP+BQAB=AF+BF=AP+BQ,则MH=12AB=12(AP+BQ)MH=12AB=12(AP+BQ),

故MHMH为直角梯形的中位线,则MH//xMH//x轴,

设A(x1,y1)A(x1,y1),B(x2,y2)B(x2,y2),则有y21=4x1y12=4x1 ①,y22=4x2y22=4x2 ②,

①-②得到,y21−y22=4(x1−x2)y12−y22=4(x1−x2),即(y1+y2)(y1−y2)=4(x1−x2)(y1+y2)(y1−y2)=4(x1−x2),

则有y1−y2x1−x2=4y1+y2y1−y2x1−x2=4y1+y2,即k=4y1+y2k=4y1+y2,

又由于MH//xMH//x轴,M(−1,1)M(−1,1),则HH点的纵坐标为1,即y1+y22=1y1+y22=1,则y1+y2=2y1+y2=2,代入上式,

得到k=4y1+y2=2k=4y1+y2=2.

法2:向量法,设直线AB:y=k(x−1)AB:y=k(x−1),由于点A,BA,B都在抛物线上,故设A(4t21,4t1)A(4t12,4t1),B(4t22,4t2)B(4t22,4t2),

联立直线和抛物线,得到{y=k(x−1)y2=4x{y=k(x−1)y2=4x,消xx得到,

y2−4ky−4=0y2−4ky−4=0,则由韦达定理可知,4t1+4t2=4k4t1+4t2=4k,4t1⋅4t2=−44t1⋅4t2=−4,

即t1+t2=1kt1+t2=1k,t1⋅t2=−14t1⋅t2=−14,

又MA−→−=(4t21+1,4t1−1)MA→=(4t12+1,4t1−1),MB−→−=(4t22+1,4t2−1)MB→=(4t22+1,4t2−1),∠AMB=90∘∠AMB=90∘,

则MA−→−⋅MB−→−=0MA→⋅MB→=0,即(4t21+1)(4t22+1)+(4t1−1)(4t2−1)=0(4t12+1)(4t22+1)+(4t1−1)(4t2−1)=0,

打开整理得到,16(t1t2)2+4(t21+t22)+1+16t1t2−4(t1+t2)+1=016(t1t2)2+4(t12+t22)+1+16t1t2−4(t1+t2)+1=0,

代入整理得到,4k2−4k+1=04k2−4k+1=0,即(2k−1)2=0(2k−1)2=0,解得k=2k=2。

【2019届宝鸡文数质检Ⅲ第7题】双曲线x236−y29=1x236−y29=1的一条弦被点P(4,2)P(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程为【】

A.x−y−2=0A.x−y−2=0 B.2x+y−10=0B.2x+y−10=0 C.x−2y=0C.x−2y=0 D.x+2y−8=0D.x+2y−8=0

分析:使用点差法求解,设弦的两个端点A(x1,y1)A(x1,y1),B(x2,y2)B(x2,y2),则由于两个点都在双曲线上,

故满足x2136−y219=1x1236−y129=1①,且x2236−y229=1x2236−y229=1②,

两式做差得到,x21−x2236−y21−y229=0x12−x2236−y12−y229=0,变形得到y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=14y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=14

又由于y1+y22=2y1+y22=2,x1+x22=4x1+x22=4,代入上式得到k⋅28=14k⋅28=14,故k=12k=12,

由于弦过点P(4,2)P(4,2),且斜率为k=12k=12,求得直线为x−2y=0x−2y=0,故选CC.

【2019高三理科数学启动卷,2019陕西省二检试卷第16题】已知等腰△ABC△ABC的底边端点AA,BB在双曲线x26−y23=1x26−y23=1的右支上,顶点CC在xx轴上,且ABAB不垂直于xx轴,则顶点CC的横坐标tt的取值范围是__________。

分析:设A(x1,y1)A(x1,y1),B(x2,y2)B(x2,y2),弦ABAB的垂直平分线交xx轴于点C(t,0)C(t,0),

ABAB的中点为M(x0,y0)M(x0,y0),则x0>6–√x0>6,



由题意有x216−y213=1x126−y123=1①,x226−y223=1x226−y223=1②,两式相减得到,

(x1+x2)(x1−x2)−2(y1+y2)(y1−y2)=0(x1+x2)(x1−x2)−2(y1+y2)(y1−y2)=0,于是有x0(x1−x2)−2y0(y1−y2)=0x0(x1−x2)−2y0(y1−y2)=0,

即kAB=y2−y1x2−x1=x02y0kAB=y2−y1x2−x1=x02y0,又kMC=y0x0−tkMC=y0x0−t,由kAB⋅kMC=−1kAB⋅kMC=−1得到,

y0x0−t⋅x02y0=−1y0x0−t⋅x02y0=−1,即x0+2(x0−t)=0x0+2(x0−t)=0,则t=3x02>36–√2t=3x02>362。

故t∈(36–√2,+∞)t∈(362,+∞)。

【2019高三理科数学模拟训练题】已知斜率为22的直线ll过抛物线C:y2=2px(p>0)C:y2=2px(p>0)的焦点FF,且与抛物线交于AA,BB两点,若线段ABAB的中点MM的纵坐标为11,则pp等于【】

A.1A.1 B.2–√B.2 C.2C.2 D.4D.4

分析:设点A(x1,y1)A(x1,y1),B(x2,y2)B(x2,y2),则有y21=2px1y12=2px1①,y22=2px2y22=2px2②,

两式作差得到,(y1−y2)(y1+y2)=2p(x1−x2)(y1−y2)(y1+y2)=2p(x1−x2),即y1−y2x1−x2⋅y1+y22=py1−y2x1−x2⋅y1+y22=p,

又线段ABAB的中点MM的纵坐标为11,即y1+y22=1y1+y22=1,又y1−y2x1−x2=2y1−y2x1−x2=2,代入上式,

得到p=2p=2,故选CC。

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知椭圆C:x2+y2b2=1(b>0,b≠1)C:x2+y2b2=1(b>0,b≠1)与直线l:y=x+ml:y=x+m交于MM,NN两点,BB为上顶点,若|BM|=|BN||BM|=|BN|,则bb的取值范围为______________。

分析:设M(x1,y1)M(x1,y1),N(x2,y2)N(x2,y2),线段MNMN的中点P(x0,y0)P(x0,y0),



则由b2x21+y21=b2b2x12+y12=b2①,b2x22+y22=b2b2x22+y22=b2②,且有y2−y1x2−x1=1y2−y1x2−x1=1,

由点差法,①-②得到,b2(x1+x2)=−(y1+y2)b2(x1+x2)=−(y1+y2),即x0b2=−y0x0b2=−y0③,

又|BM|=|BN||BM|=|BN|,则BP⊥MNBP⊥MN,kBP=−1=y0−bx0kBP=−1=y0−bx0④,

由③④可得,x0=b1−b2x0=b1−b2,y0=b31−b2y0=b31−b2,由于点P(b1−b2,b31−b2)P(b1−b2,b31−b2)在椭圆内,

故b2(1−b2)2+b6(1−b2)2b2<1b2(1−b2)2+b6(1−b2)2b2<1,

解得3b2<13b2<1,又b>0b>0,故0<b<3–√30<b<33。

解后反思:①出现这种范围问题的求解策略,其一,联立求解Δ>0Δ>0;其二,点P(x0,y0)P(x0,y0)在椭圆内,则x20a2+y20b2<1x02a2+y02b2<1,

②涉及到与圆锥曲线相交的直线的斜率、中点问题常常考虑使用点差法。

反例提升#

如点P(4,2)P(4,2)是直线ll被椭圆:x24+y2=1x24+y2=1所截得的线段的中点,求直线ll的方程。

分析:设直线与椭圆相交于两点A(x1,y1)A(x1,y1)和B(x2,y2)B(x2,y2),

由于点P(4,2)P(4,2)是线段ABAB的中点,故有x1+x2=8x1+x2=8,y1+y2=4y1+y2=4;

又由于点A、BA、B都在椭圆上,

则有x21+4y21=4①x12+4y12=4①,x22+4y22=4②x22+4y22=4②,

两式作差得到,(x21−x22)+4(y21−y22)=0(x12−x22)+4(y12−y22)=0,

即(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0,

也就是y1−y2x1−x2=−(x1+x2)4(y1+y2)=−12y1−y2x1−x2=−(x1+x2)4(y1+y2)=−12,

即直线ll的斜率k=kAB=−12k=kAB=−12,

由点斜式可得直线ll的方程为y−2=−12(x−4)y−2=−12(x−4),整理得到x+2y−8=0x+2y−8=0。

易知上例中,点P(4,2)P(4,2)在椭圆:x24+y2=1x24+y2=1的外边,故点P(4,2)P(4,2)绝不可能是弦ABAB的中点,

此时点差法显的有点尴尬无奈。可见,点差法只能解决真正的中点问题,对于需要判别的情况应先判别再应用。

对应练习#

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)F(3,0),过点FF的直线交EE于AA、BB两点,若ABAB的中点坐标为M(1,−1)M(1,−1),则EE的方程为_____________。

分析:设点A(x1,y1)A(x1,y1),B(x2,y2)B(x2,y2),则由两点都满足椭圆方程得到,

x21a2+y21b2=1x12a2+y12b2=1①,x22a2+y22b2=1x22a2+y22b2=1②,两式做差得到,

x21−x22a2+y21−y22b2=0x12−x22a2+y12−y22b2=0,即(x1−x2)(x1+x2)a2+(y1−y2)(y1+y2)b2=0(x1−x2)(x1+x2)a2+(y1−y2)(y1+y2)b2=0,

又由于ABAB的中点坐标为(1,−1)(1,−1),即x1+x22=1x1+x22=1,y1+y22=−1y1+y22=−1,代入上式,

整理得到,k=y1−y2x1−x2=b2a2k=y1−y2x1−x2=b2a2,又k=kFM=−1−01−3=12k=kFM=−1−01−3=12,

则令b2=kb2=k,a2=2ka2=2k,又c2=9c2=9,由a2−b2=c2=k=9a2−b2=c2=k=9,则a2=2k=18a2=2k=18,b2=k=9b2=k=9

故椭圆的方程为x218+y29=1x218+y29=1.

直线 y=x+my=x+m 被椭圆 2x2+y2=22x2+y2=2 截得的线段的中点的横坐标为1616,求中点纵坐标;

解析:设 A(x1,y1)A(x1,y1), B(x2,y2)B(x2,y2),其中点为P(x0,y0)P(x0,y0),

则有x0=x1+x22=16x0=x1+x22=16,即x1+x2=13x1+x2=13,y0=y1+y22y0=y1+y22,

又由于点 AA 和 BB 都在椭圆上,故有


2x21+y21=2①2x12+y12=2①



2x22+y22=2②2x22+y22=2②


①-②得到,2(x21−x22)+(y21−y22)=02(x12−x22)+(y12−y22)=0

即2(x1−x2)(x1+x2)+(y1−y2)(y1+y2)=02(x1−x2)(x1+x2)+(y1−y2)(y1+y2)=0

则2×13(x1−x2)=−(y1−y2)(y1+y2)2×13(x1−x2)=−(y1−y2)(y1+y2),

即2×13=−(y1−y2)(y1+y2)x1−x22×13=−(y1−y2)(y1+y2)x1−x2,

又由于k=y1−y2x1−x2k=y1−y2x1−x2,本题目中k=1k=1,

即2×13=−y1−y2x1−x2×(y1+y2)=y1+y22×13=−y1−y2x1−x2×(y1+y2)=y1+y2,

故y1+y22=−13y1+y22=−13,故中点的纵坐标为−13−13.


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